Tugas Rangkumn Semua Materi Beserta Contohnya

 TUGAS 7

Nama: Windi Ardiko

Apsen: 37

Kelas: XI IPA 3

1. *PERSAMAAN TRIGONOMETRI*

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari sudut yang belum diketahui nilainya. Pada prinsipnya, persamaan trigonometri sama dengan persamaan linear atau kuadrat. Hal yang membedakan adalah himpunan penyelesaian pada persamaan trigonometri berupa besaran sudut.

a. Persamaan sinus

• Sudut dalam satuan derajat : 

sin x = sin a°

x =a + k . 360°

x= (180° - a)+k . 360°

• Sudut dalam satuan radian : 

sin x = sin a

x = a + k × 2π

( Untuk k merupakan konstanta bilangan

bulat. )

b.Persamaan cosinus

• Sudut dalam satuan derajat : 

Cos x = cos a°

x = a° + k × 360°

• Sudut dalam satuan radian : 

Cos x = cos a 

x = a + k + 2π

( Untuk k merupakan konstanta bilangan

bulat. )

C. Persamaan Tangen

• Sudut dalam satuan derajat : 

tan x = tan a°

x = a° + k × 180°

• Sudut dalam satuan radian : 

tan x = tan a

x = a + k × π

*Contoh soal

1) Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos 3xº = 1,untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah....

Pembahasan:

2 cos 3xº = 1

⇒ cos 3xº = ½

⇒ cos 3xº = cos 60°

Maka:

3x₁ = 60°+ k.360°

⇒ x₁ = 20°+ k.120°

⇒ x₁ = {20,140}

3x₂ = -60° + k.360°

⇒ x₂ = -20° + k.120°

⇒ x₂ = {100}

Jadi, diperoleh himpunan penyelesaian HP {20, 100, 140}.

2. *IDENTITAS TRIGONOMETRI PENJUMLAHAN DAN SELISIH DUA SUDUT*

Berdasarkan sin, cos, dan tan, rumus ini dibagi menjadi 3 kelompok sebagai berikut:

1. Rumus penjumlah dan selisih dua sudut apabila menggunakan cos:

 •Cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B 

 •Cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B

2. Rumus penjumlah dan selisih dua sudut apabila menggunakan sin:

 •Sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B 

 •Sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B 

3. Rumus jumlah dan selisih dua sudut apabila menggunakan tangen

•Tan A (A+B) = tanA+tanB1–tanAxtanB

•Tan A (A-B) = tanA–tanB1–tanAxtanB

Contoh soal

2. Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13, sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin

 (A +B) dan sin (A – B).

Pembahasan :

cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)

sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

                   = 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13

                    = –36/65 – 20/65

                    = – 56/65

3. *IDENTITAS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP*

Berdasarkan sin, cos, dan tan, rumus ini dibagi menjadi 3 kelompok sebagai berikut :

1. Rumus untuk menyelesaikan sudut rangkap apabila menggunakan fungsi cos ada 3, yakni.

•Cos 2α = cos2α – sin2α

•Cos 2α = 1-2 sin2α

•Cos 2α = 2 sin2α – 1

2. Rumus untuk menyelesaikan sudut rangkap apabila menggunakan fungsi sin

•Sin 2α = 2sinα cosα

3. Rumus untuk menyelesaikan sudut rangkap apabila menggunakan fungsi tangen

•Tan2α = 2tanα1−tan2α

Contoh soal

3. Jika sinα = 3/5 dan α adalah sudut lancip, tentukan nilai sin2α

Pembahasan :

sinα = 3/5

cosα = 4/5

Sehingga,

sin 2α = 2. sinα cosα

sin 2α = 2 . 3/5 . 4/5

sin 2α = 6/25

*IDENTITAS PERKALIAN DAN PENJUMLAHAN / SELISIH SINUS DAN KOSINUS* 

A. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus

• sin a cos B = 1/2 [sin (a + B) + sin (a - B)]

• cos a sin B = 1/2 [sin (a + B) - sin (a - B)]

• cos a cos B = 1/2 [cos (a + B) + cos (a - B)]

• sin a sin B = -1/2 [cos (a + B) - cos (a - B)]

B. Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus

• sin a + sin B = 2 sin 1/2 (a + B) cos 1/2 (a - B)

• sin a - sin B = 2 cos 1/2 (a + B) sin 1/2 (a - B)

• cos a + cos B = 2 cos 1/2 (a + B) cos 1/2 (a - B)

• cos a - cos B = -2 sin 1/2 (a + B) sin 1/2 (a - B)

Contoh soal

4. Tentukan nilai trigonometri dari sin 75° sin 15°

Jawab : 

 sin a sin B = -1/2 [cos(a +B) - cos (a -B)

 sin 75° sin 15° = -1/2 [cos(75° + 15°) - cos (75° - 15°)

   = -1/2 [cos 90° - cos 60°]

   = -1/2 [ 0 - 1/2]

   = -1/2 [-1/2]

   = 1/4